Question

（2012•眉山二模）等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，則使a₁+a₂+…+a_n＞

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

恒成立的正整數(shù)n的最小值為（　　）

A．18

B．19

C．20

D．21

Answer 1

分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

為首項(xiàng)，以

1

q

為公比的等比數(shù)列，要使不等式成立，則須

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，由等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，化簡代入，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意得：（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，∴a₁q⁹=1．
由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

為首項(xiàng)，以

1

q

為公比的等比數(shù)列，
要使不等式成立，則須

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

將a12=q-18代入上式并整理，得q^-18（qⁿ-1）＞q（1-

1

qn

），
∴qⁿ＞q¹⁹，
∵q＞1，∴n＞19，故所求正整數(shù)n的最小值是20．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的確定與等比數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．