Question

17．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+2{cos^2}x$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[0\;，\;\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩角差的正弦公式以及二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)，由此得到周期．
（Ⅱ）由x的范圍得到2x+$\frac{π}{6}$的范圍，由此確定最大值與最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+1+cos2x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+1$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+1$
所以f（x）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，
$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}\;，\;\frac{7π}{6}]$．
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
即$x=\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值2；
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$，即$x=\frac{π}{2}$時，
f（x）取得最小值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡，以及由x的范圍確定最值，熟記公式是解決本題的關(guān)鍵．