Question

3．在平面直角坐標系xOy中，點P為橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的下頂點，M，N在橢圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，若α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，則橢圓C的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]

Answer 1

分析 由已知設M（x，-$\frac{a}{2}$），N（x，$\frac{a}{2}$），?代入橢圓方程，得N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{a}{2}$），由α為直線ON的傾斜角，得cotα=$\frac{\sqrt{3}b}{a}$，由此能求出橢圓C的離心率的取值范圍．

解答 解：∵OP在y軸上，且平行四邊形中，MN∥OP，
∴M、N兩點的橫坐標相等，
縱坐標互為相反數(shù)，即M，N兩點關于x軸對稱，MN=OP=a，
可設M（x，-$\frac{a}{2}$），N（x，$\frac{a}{2}$），?
代入橢圓方程得：|x|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，得N（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，$\frac{a}{2}$），
α為直線ON的傾斜角，tanα=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}b}$=$\frac{a}{\sqrt{3}b}$，cotα=$\frac{\sqrt{3}b}{a}$，
α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴1≤cotα=$\frac{\sqrt{3}b}{a}$≤$\sqrt{3}$，
$\frac{\sqrt{3}}{3}≤\frac{a}≤1$，∴$\frac{1}{3}≤\frac{^{2}}{{a}^{2}}≤1$，
∴0＜e=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴橢圓C的離心率的取值范圍為（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．
故選：A．

點評 本題旨在考查解析幾何橢圓的離心率問題．考查數(shù)形結合和運算能力，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．