Question

數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

3

，  an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

(n=1，2，…)．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ） 求證：a₁+a₂+…+a_n=

1

2

-

an+1

1-an+1

；
（Ⅲ）求證：

1

2

-

1

32n-1

＜a1+a2+…+an＜

1

2

-

1

32n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

3

，  an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

(n=1，2，…)，分別代入，即可求得a₂，a₃；
（Ⅱ）由an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

知  

1

an+1

=

1

a 2 n

-

1

an

+1，從而可得an=

an

1-an

-

an+1

1-an+1

，代入即可得出結(jié)論；
（Ⅲ） 證明

1

2

-

1

32n-1

＜a1+a2+…+an＜

1

2

-

1

32n

等價(jià)于證明

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

-

an+1

1-an+1

＜

1

2

-

1

32n

，
即證 32n-1＜

1-an+1

an+1

＜32n，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答：（Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

3

，  an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

(n=1，2，…)．
∴a2=

1

7

，a3=

1

43

…（2分）
（Ⅱ）證明：由an+1=

a 2 n

a 2 n -an+1

知  

1

an+1

=

1

a 2 n

-

1

an

+1，

1

an+1

-1=

1

an

(

1

an

-1)．                     （1）
所以    

an+1

1-an+1

=

a 2 n

1-an

=

an

1-an

-an，
即      an=

an

1-an

-

an+1

1-an+1

．                              …（5分）
從而  a₁+a₂+…+a_n=

a1

1-a1

-

a2

1-a2

+

a2

1-a2

-

a3

1-a3

+…+

an

1-an

-

a n+1

1-an+1

=

a1

1-a1

-

an+1

1-an+1

=

1

2

-

an+1

1-an+1

．                           …（7分）
（Ⅲ） 證明：

1

2

-

1

32n-1

＜a1+a2+…+an＜

1

2

-

1

32n

等價(jià)于
證明

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

-

an+1

1-an+1

＜

1

2

-

1

32n

，
即    32n-1＜

1-an+1

an+1

＜32n．                          （2）…（8分）
當(dāng)n=1時(shí)，

1-a2

a2

=6，321-1＜6＜321，
即n=1時(shí)，（2）成立．
設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，（2）成立，即 32k-1＜

1-ak+1

ak+1

＜32k．
當(dāng)n=k+1時(shí)，由（1）知

1-ak+2

ak+2

=

1

ak+1

(

1-ak+1

ak+1

)＞(

1-ak+1

ak+1

)2＞32k；         …（11分）
又由（1）及a1=

1

3

知 

1-an

an

(n≥1)均為整數(shù)，
從而由 

1-ak+1

ak+1

＜32k有 

1-ak+1

ak+1

≤32k-1即

1

ak+1

≤32k，
所以  

1-ak+2

ak+2

=

1

ak+1

•

1-ak+1

ak+1

＜32k•32k＜32k+1，
即（2）對(duì)n=k+1也成立．
所以（2）對(duì)n≥1的正整數(shù)都成立，
即

1

2

-

1

32n-1

＜a1+a2+…+an＜

1

2

-

1

32n

對(duì)n≥1的正整數(shù)都成立．     …（13分）
注：不同解法請教師參照評(píng)標(biāo)酌情給分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列與不等式，考查數(shù)學(xué)歸納法，正確運(yùn)用數(shù)列遞推式，及數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是解題的關(guān)鍵．