Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，，成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)曲線，點(diǎn)，為該曲線上不同的兩點(diǎn).求證：當(dāng)時，直線的斜率大于-1.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，對分為和兩種情形，討論導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，即可得單調(diào)性；（Ⅱ）利用分離參數(shù)的思想，原不等式等價于，成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可；（Ⅲ）不妨設(shè)且，要證明直線AB斜率大于，即證，，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)遞增即可.

詳解：（Ⅰ） ，

若，，

無單調(diào)遞增區(qū)間.

若，由，

當(dāng)，；

當(dāng)，.

綜上所述：當(dāng)時，，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)時，，.

（Ⅱ）當(dāng)，時

，

因?yàn)?/span>，成立，

即，成立，

即，成立，

設(shè)，

，

，

，

故當(dāng)時，有極小值，此極小值即為最小值，

因?yàn)?/span>,成立，所以，因此，

即的取值范圍為.

（Ⅲ）不妨設(shè)且，要證明直線AB斜率大于，即證，即證，

由已知，其中，，

設(shè)，

則，

，因此當(dāng)時，，

即，所以原命題得證.