Question

（2011•順義區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-

b

2

x2+c，其圖象過點(diǎn)（0，1）．
（1）當(dāng)方程f′（x）-x+1=0的兩個(gè)根分別為是

1

2

，1時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a=

2

3

，b≠0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值與極小值．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），依題意f（0）=1，方程f′（x）-x+1=0的兩個(gè)根分別為是

1

2

，1，列方程求解即可得a、b、c的值
（2）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2x(x-

b

2

)，研究函數(shù)的單調(diào)性需要討論b的正負(fù)，故分b＞0和b＜0兩種情況分別討論函數(shù)的單調(diào)性和極值即可

解答：解：由題意可知，f（0）=1所以c=1    
（1）由f(x)=ax3-

b

2

x2+1，得f′（x）=3ax²-bx．
因?yàn)閒′（x）-x+1=0，即3ax²-bx-x+1=0的兩個(gè)根分別為

1

2

，1
所以

3a× 1 4 - b 2 - 1 2 +1=0 3a-b-1+1=0

解得

a= 2 3 b=2

故f(x)=

2

3

x3-x2+1
（Ⅱ）f(x)=

2

3

x3-

b

2

x2+c
所以，f′(x)=2x2-bx=2x(x-

b

2

)
①若b＞0，則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(0，

b

2

)時(shí)，f′（x）＜0函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(

b

2

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
因此，f（x）的極大值為f（0）=c=1，f（x）的極小值為f(

b

2

)=1-

b3

24

②若b＜0，則當(dāng)x∈(-∞，

b

2

)時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(

b

2

，0)時(shí)，f′（x）＜0函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
因此，f（x）的極大值為f(

b

2

)=1-

b3

24

，f（x）的極小值為f（0）=1．
綜上所述，當(dāng)b＞0時(shí)，f（x）的極大值為1，極小值為1-

b3

24

，
當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）的極大值為1-

b3

24

，極小值為

點(diǎn)評(píng)：本題考察了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用，分類討論的思想方法