Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC和BD的交點(diǎn)．

（1）證明：PB∥平面AEC；

（2）證明：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）連接EF，利用中位線定理得出EF∥PB，故而PB∥平面AEC；

（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，結(jié)合AC⊥BD可得BD⊥平面PAC，故而平面PAC⊥平面PBD．

解：（1）證明：連接EF，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴F是BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，

∴PB∥EF，又EF平面AEC，PB平面AEC，

∴PB∥平面AEC；

（2）∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴PA⊥BD，

∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又AC平面PAC，PA平面PAC，AC∩PA=A，

∴BD⊥平面PAC，又∵BD平面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD．