Question

10．已知函數f（x）=alnx+$\frac{x}$在x=1處有極值-1．
（1）求實數a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），得到關于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$，
由f（x）在x=1處的極值是-1，
故$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-b=0}\\{f（1）=b=-1}\end{array}\right.$，
解得：a=b=-1；
（2）由（1）f（x）=-lnx-$\frac{1}{x}$，（x＞0），
則f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．