Question

16．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，直線l的
參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+at\\ y=2+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；
（2）直線l與曲線C交于B，D兩點(diǎn)，當(dāng)|BD|取到最小值時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=6y，配方可得圓心C（0，3），半徑r=3．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+at}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．
（2）由直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（1，2），此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，因此當(dāng)CP⊥l時(shí)，|BD|取到最小值，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得k₁，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=6y，配方為：x²+（y-3）²=9，圓心C（0，3），半徑r=3．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+at}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x-ay+2a-1=0．
（2）由直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（1，2），此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，
因此當(dāng)CP⊥l時(shí)，|BD|取到最小值，則${k_{CP}}•{k_1}=\frac{2-3}{1-0}×{k_1}=-1$，解得k₁=1．
∴$\frac{1}{a}=1$，解得a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．