Question

設(shè)圓O：x²+y²=4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（I）若直線l過點(diǎn)P（1，2），且圓心O到直線l的距離等于1，求直線l的方程；
（II）已知定點(diǎn)N（4，0），若M是圓O上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，求動點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）考慮兩種情況：（1）斜率不存在即所求直線與y軸平行時(shí)，容易直線的方程；（2）斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的斜截式，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式列出原點(diǎn)到直線l的距離的方程，求出斜率k即可得到方程．
（II）設(shè)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)點(diǎn)P和N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得

OP

和

OM

，

ON

，再代入

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，答案可得．

解答：解：（I）（1）當(dāng)過點(diǎn)P（1，2）的直線l與x軸垂直時(shí)，
此時(shí)圓心O到直線l的距離等于1，
所以x=1為所求直線方程．
（2）當(dāng)過點(diǎn)P（1，2）且與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)所求直線方程為y-2=k（x-1），
即：kx-y-k+2=0，由題意有

|-k+2|

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
故所求的直線方程為y-2=

3

4

(x-1)，即3x-4y+5=0．
綜上，所求直線方程為x=1或3x-4y+5=0．
（II）：設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x₀，y₀），則

OP

=（x，y），

OM

=(x0，y 0)
因?yàn)镹（4，0）
所以

ON

=（4，0）
因?yàn)?span id="ujxq504" class="MathJye">

OP

=

1

2

(

OM

+

ON

)，
所以（x，y）=

1

2

[（4，0）+（x₀，y₀）]
即

x= 1 2 x0+2 y= 1 2 y0

，即

x0=2x-4 y0=2y

又x₀²+y₀²=4，∴（2x-4）²+4y²=4，
即：（x-2）²+y²=1．
故動點(diǎn)P的軌跡方程：（x-2）²+y²=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式、利用向量的關(guān)系求點(diǎn)的軌跡方程．此題為中檔題，學(xué)生做題時(shí)容易少一種斜率不存在的情況，要求學(xué)生考慮問題要全面．應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．