Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n．證明：當n≥6時，|S_n-2|＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據a_n+2=（1+cos²）a_n+sin²，把a₁和a₂代入即可求得a₃，a₄，先看當n=2k-1（k∈N^*）時，整理得a_2k+1-a_2k-1=1進而可判斷數列{a_2k-1}是首項為1、公差為1的等差數列；n=2k（k∈N^*）時，整理得a_2k+2=2a_2k進而可判斷數列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數列，最后綜合可得答案．
（2）把（1）中求得a_n代入b_n中可知數列{b_n}是由等比和等差數列構成，因而可用錯位相減法求和，得到數列的求和公式S_n=2-．．要證明當n≥6時，|S_n-2|＜成立，只需證明當n≥6時，＜1成立．用數學歸納法，先看當n=6時求得＜1，再假設當n=k（k≥6）時不等式成立，通過n=k+1時，等式亦成立，進而證明結論．
解答：解：（1）因為a₁=1，a₂=2，
所以a₃=（1+cos²）a₁+sin²=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，當n=2k-1（k∈N^*）時，a_2k+1=[1+cos²]a_2k-1+sin²=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數列{a_2k-1}是首項為1、公差為1的等差數列，
因此a_2k-1=k．
當n=2k（k∈N^*）時，a_2k+2=（1+cos²）a_2k+sin²=2a_2k．
所以數列{a_2k}是首項為2、公比為2的等比數列，
因此a_2k=2^k．
故數列{a_n}的通項公式為
a_n=
（2）由（1）知，b_n==，
所以S_n=+++…+，①
S_n=+++…+，②
①-②得，S_n=+++…+-=-=1--，
所以S_n=2--=2-．
要證明當n≥6時，|S_n-2|＜成立，只需證明當n≥6時，＜1成立．
（1）當n=6時，==＜1成立．
（2）假設當n=k（k≥6）時不等式成立，即＜1．
則當n=k+1時，
=×＜＜1．
由（1）、（2）所述，當n≥6時，＜1．
即當n≥6時，|S_n-2|＜．
點評：本題主要考查了數列的遞推式．數列的遞推式常用來解決數列求通項公式等問題，有時要注意數列中的奇數項和偶數項的不同．