Question

【題目】對于四面體，有以下命題：

（1）若，則過向底面作垂線，垂足為底面的外心；

（2）若， ，則過向底面作垂線，垂足為底面的內心；

（3）四面體的四個面中，最多有四個直角三角形；

（4）若四面體的6條棱長都為1，則它的內切球的表面積為.

其中正確的命題是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】對于①，設點A在平面BCD內的射影是O，因為AB=AC=AD，所以OB=OC=OD，

則點A在底面BCD內的射影是△BCD的外心，故①正確；

對于②設點A在平面BCD內的射影是O，則OB是AB在平面BCD內的射影，因為AB⊥CD，根據(jù)三垂線定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可證BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正確；

對于③：如圖：直接三角形的直角頂點已經(jīng)標出，直角三角形的個數(shù)是4．故③正確；

對于④，如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，正四面體的棱長為：1；

所以OE為內切球的半徑，BF=AF=，BE=，

所以AE==，

因為BO2﹣OE2=BE2，

所以（﹣OE）2﹣OE2=（）2，

所以OE=，

所以球的表面積為：4πOE2=，故④正確．

故答案為： ．