Question

數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為0的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)c_n=a_n+b_n，數(shù)列{c_n}的前三項(xiàng)依次為1，1，2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意c_n=a_n+b_n，數(shù)列{c_n}的前三項(xiàng)依次為1，1，2，列出方程組求解公差和公比，進(jìn)而寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)c_n的通項(xiàng)公式進(jìn)行分組求和，轉(zhuǎn)化成一個(gè)等比數(shù)列、等差數(shù)列、常數(shù)列求和，進(jìn)而得到數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，由題意得

d+q=1 2d+q2=2

，解得

d=1 q=0

(舍) 或

d=-1 q=2

，
則a_n=1-n，b_n=2^n-1 ．
（2）由（1）知，c_n=a_n+b_n=2^n-1-n+1
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和
S_n=（2⁰+2¹+…+2^n-1）-（1+2+3+…+n）+n
=

20(1-2n)

1-2

-

n(1+n)

2

+n=

n-n2

2

+2n-1
∴Sn=

n-n2

2

+2n-1

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，數(shù)列的求和問題，涉及了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合．?dāng)?shù)列在填空題中常涉及數(shù)列的基本性質(zhì)，在解答題中經(jīng)�？疾閿�(shù)列及函數(shù)，數(shù)列及不等式等得綜合應(yīng)用，屬中檔題．