（2012•江蘇三模）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M
21
34

（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣M的特征值及特征向量．
分析：（1）先求矩陣M的行列式，進(jìn)而可求其逆矩陣，
（2）令矩陣M的特征多項(xiàng)式等于0，即可求得矩陣M的特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
解答：解：（1）矩陣的行列式為
.
21
34
.
=8-3=5，
∴求矩陣M的逆矩陣M-1=
4
5
-
1
5
-
3
5
2
5
．…（4分）
（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=
.
λ-2-1
-3λ-4
.
=λ2-6λ-5，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為1或5，…（6分）
當(dāng)λ=1時(shí) 由二元一次方程
-x-y=0
-3x-3y=0
得x+y=0，令x=1，則y=-1，
所以特征值λ=1對(duì)應(yīng)的特征向量為
α1
=
1
-1
．…（8分）
當(dāng)λ=5時(shí) 由二元一次方程
3x-y=0
-3x+y=0
得3x-y=0，
令x=1，則y=3，
所以特征值λ=5對(duì)應(yīng)的特征向量為
α2
=
1
3
．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題以矩陣為載體，考查矩陣的逆矩陣，考查矩陣M的特征值及特征向量，關(guān)鍵是求其行列式，正確寫(xiě)出矩陣M的特征多項(xiàng)式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C：（x+1）2+y2=16，點(diǎn)F（1，0），E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)B的軌跡方程；
（2）當(dāng)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；
（3）若G是圓上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足FG⊥FE．記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，存在常數(shù)A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C對(duì)任意正整數(shù)n都成立．
（1）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求證：3A-B+C=0；
（2）若A=-
1
2
，B=-
3
2
，C=1，設(shè)bn=an+n，數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn；
（3）若C=0，{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，設(shè)P=
2012
i=1
1+
1
a
2
i
+
1
a
2
i+1
，求不超過(guò)P的最大整數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組
y≥0
x-2y≥0
x+y-3≤0
表示的區(qū)域?yàn)镸，t≤x≤t+1表示的區(qū)域?yàn)镹，若1＜t＜2，則M與N公共部分面積的最大值為
5
6
5
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）假定某人每次射擊命中目標(biāo)的概率均為
12
，現(xiàn)在連續(xù)射擊3次．
（1）求此人至少命中目標(biāo)2次的概率；
（2）若此人前3次射擊都沒(méi)有命中目標(biāo)，再補(bǔ)射一次后結(jié)束射擊；否則．射擊結(jié)束．記此人射擊結(jié)束時(shí)命中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇三模）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，且對(duì)任意n∈N*，恒有nan+1=2（n+1）an．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)區(qū)間[
an
3n
，
an+1
3(n+1)
]中的整數(shù)個(gè)數(shù)為bn，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

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