Question

已知PA⊥平面ABC，點(diǎn)H、G分別是△ABC、△PBC的垂心，如圖．求證：HG⊥平面PBC．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：欲證HG⊥平面PBC，需證HG與平面PBC內(nèi)的兩條相交直線垂直．利用“垂心和三角形頂點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊”的性質(zhì)，可使孤立的點(diǎn)G、H與各邊聯(lián)系起來，并得到垂直關(guān)系，從而找到解題突破口．首先連結(jié)AH，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連結(jié)PD，則根據(jù)線面垂直及已知條件得PD⊥BC，AD⊥BC，從而BC⊥平面PAD，且BC⊥HG．再連結(jié)并延長(zhǎng)BG、BH分別交對(duì)邊于E、F，則PC⊥BE且BF⊥AC，從而PC⊥BF，推出PC⊥平面BEF，PC⊥HG．

提示：

解決立體幾何中的有關(guān)垂直關(guān)系的問題，常常要進(jìn)行多次線線垂直和線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化歸思想的重要性和優(yōu)越性．