Question

選修4-4（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
求直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數(shù)）被曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)所截的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)t得到直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數(shù)）的普通方程，最后利用直線和圓的相交關(guān)系求解．

解答：解：曲線ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，即ρ²=ρcosθ-ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²=x-y，
即為（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

，
直線

x=1+4t y=-1-3t

（t為參數(shù)）的方程是：3x+4y+1=0
曲線C表示以（

1

2

，-

1

2

）為圓心，以r=

2

2

為半徑的圓．
圓心到直線l距離d=

|3× 1 2 -4× 1 2 +1|

9+16

=

1

10

．
所截的弦長(zhǎng)|AB|=2

r2-d2

=2

1 2 - 1 100

=

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)方程、及參數(shù)方程的互化，圓中弦長(zhǎng)計(jì)算．圓中弦長(zhǎng)公式為．|AB|=2

r2-d2

．