Question

設a為實數，函數f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（0）≥1⇒-a|a|≥1再去絕對值求a的取值范圍，
（2）分x≥a和x＜a兩種情況來討論去絕對值，再對每一段分別求最小值，借助二次函數的對稱軸及單調性．最后綜合即可．
（3）h（x）≥1轉化為3x²-2ax+a²-1≥0，因為不等式的解集由對應方程的根決定，所以再對其對應的判別式分三種情況討論求得對應解集即可．
解答：解：（1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1⇒⇒a≤-1
（2）當x≥a時，f（x）=3x²-2ax+a²，∴，
如圖所示：

當x≤a時，f（x）=x²+2ax-a²，
∴．

綜上所述：．
（3）x∈（a，+∞）時，h（x）≥1，
得3x²-2ax+a²-1≥0，△=4a²-12（a²-1）=12-8a²
當a≤-或a≥時，△≤0，x∈（a，+∞）；
當-＜a＜時，△＞0，得：
即
綜上可得，
當a∈（-∞，-）∪（，+∞）時，不等式組的解集為（a，+∞）；
當a∈（-，-）時，不等式組的解集為（a，]∪[，+∞）；
當a∈[-，]時，不等式組的解集為[，+∞）．
點評：本題考查了分段函數的最值問題．分段函數的最值的求法是先對每一段分別求最值，最后綜合最大的為整個函數的最大值，最小的為整個函數的最小值．