Question

已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）滿足，且點P₁的坐標(biāo)為（-1，1），設(shè)經(jīng)過點P₁、P₂的直線為L．
（1）求直線L的方程；
（2）已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在直線L上，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）在滿足（II）條件下，求對于所有n∈N⁺，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…成立的最大實數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由 ，知 ．由此知過點P₁，P₂的直線l的方程為2x+y=1．
（2）由P_n（a_n，b_n）在直線l上，知2a_n+b_n=1．故b_n+1=1-2a_n+1．由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n-2a_na_n+1．由此知 是公差為2的等差數(shù)列．
（3）由 ．，知 ．所以 ，．依題意 恒成立．設(shè) ，所以只需求滿足k≤F（n）的F（n）的最小值．
解答：解：（1）因為 ，所以 ．所以 ．
所以過點P₁，P₂的直線l的方程為2x+y=1．
（2）因為P_n（a_n，b_n）在直線l上，所以2a_n+b_n=1．所以b_n+1=1-2a_n+1．
由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n（1-2a_n+1）．即a_n+1=a_n-2a_na_n+1．
所以 ．所以 是公差為2的等差數(shù)列．
（3）由（2）得 ．
所以 ．
所以 ．
所以 ．（8分）
依題意 恒成立．
設(shè) ，
所以只需求滿足k≤F（n）的F（n）的最小值．
因為
==，
所以F（n）（x∈N^*）為增函數(shù)．
所以 ．
所以 ．所以 ．
點評：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合運用，難度較大，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地選用公式．