Question

求函數(shù)f(x)=log

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(-x2-2x)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f(x)=log

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(-x2-2x)有意義，則必須-x²-2x＞0，解得即可得到函數(shù)的定義域；變形-x²-2x=-（x+1）2+1令u（x）=-（x+1）²+1，利用二次函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出單調(diào)區(qū)間；利用單調(diào)性即可得出函數(shù)的值域．

解答： 解：①要使函數(shù)f(x)=log

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(-x2-2x)有意義，
則必須-x²-2x＞0，化為x²+2x＜0，
解得-2＜x＜0．
∴此函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，0）．
②函數(shù)f(x)=log

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(-x2-2x)=log 

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[-（x+1）2+1]，
令u（x）=-（x+1）²+1，
當(dāng)x∈（-2，-1]時(shí)，函數(shù)u（x）單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)y=log 

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（-x²-2x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，函數(shù)u（x）單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)y=log 

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（-x²-2x）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)y=log 

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（-x²-2x）單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，-1]，單調(diào)遞增區(qū)間是[-1，0）．
③由②可知：當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)y=log 

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（-x²-2x）取得最小值，為log 

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（-1+2）=0．
∴函數(shù)f(x)=log

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(-x2-2x)的值域?yàn)閇0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間及其值域，屬于中檔題．