Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，

an+1

an

=1-

1

(n+1)2

(n∈N*)，則

lim

n→∞

an=

1

2

．

Answer 1

分析：由a1=1，

an+1

an

=1-

1

(n+1)2

(n∈N*)，知an+1=an[1-

1

(n+1)2

]，a2=1-

1

22

=

3

4

=

1

2

+

1

4

，a3=

3

4

(1-

1

32

)=

2

3

=

1

2

+

1

6

，a4=

2

3

(1-

1

42

)=

5

8

=

1

2

+

1

8

，…，an=

1

2

+

1

2n

，由此能求出

lim

n→∞

an．

解答：解：∵a1=1，

an+1

an

=1-

1

(n+1)2

(n∈N*)，
∴an+1=an[1-

1

(n+1)2

]，
∴a2=1-

1

22

=

3

4

=

1

2

+

1

4

，
a3=

3

4

(1-

1

32

)=

2

3

=

1

2

+

1

6

，
a4=

2

3

(1-

1

42

)=

5

8

=

1

2

+

1

8

，
…
an=

1

2

+

1

2n

，
∴則

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

2n

)=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．