Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線，當(dāng)n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bⁿ的線段（其中正常數(shù)b≠1），設(shè)數(shù)列|x_n|由f（x_n）=n（n=1，2，…）定義．
（1）求x₁、x₂和x_n的表達(dá)式；
（2）計(jì)算；
（3）求f（x）的表達(dá)式，并寫出其定義域；

Answer 1

【答案】分析：1）依題意f（0）=0，又由f（x₁）=1，當(dāng)0≤y≤1時，x₁=1．又由f（x₂）=2，當(dāng)1≤y≤2時，由此入手結(jié)合題意可求出
（2）當(dāng)b＞1時，；當(dāng)0＜b＜1時，n→∞，x_n也趨向于無窮大．
（3）分類討論可知當(dāng)b＞1時，y=f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212318869321237/SYS201310232123188693212020_DA/3.png">；當(dāng)0＜b＜1時，y=f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞）．
解答：（1）解：依題意f（0）=0，又由f（x₁）=1，當(dāng)0≤y≤1時，
函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b=1的線段，
故由
得x₁=1．
又由f（x₂）=2，當(dāng)1≤y≤2時，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b的線段，
故由，
即得
記x=0．由函數(shù)y=f（x）圖象中第n段線段的斜率為b^n-1，
故得
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，∴
由此知數(shù)列{x_n-x_n-1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為
因b≠1，得，
即
（2）解：由（1）知
當(dāng)b＞1時，；
當(dāng)0＜b＜1時，n→∞，x_n也趨向于無窮大．
（3）解：由（1）知：
當(dāng)0≤x≤1時，y=x．即當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x；
當(dāng)n≤y≤n+1時，即x_n≤x≤x_n-1時，
由（1）可知，f（x）=n+bⁿ（x-x_n）（n=1，2，）．
由（2）知：當(dāng)b＞1時，
y=f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212318869321237/SYS201310232123188693212020_DA/15.png">；
當(dāng)0＜b＜1時，y=f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞）．
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識，考查歸納、推理和綜合的能力．