Question

3．利用（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ證明：（C${\;}_{n}^{0}$）²+（C${\;}_{n}^{1}$）²+（C${\;}_{n}^{2}$）²+…+（C${\;}_{n}^{n}$）²=C${\;}_{2n}^{n}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二項展開式的通項公式，求出（1+x）²ⁿ的展開式中含xⁿ項的系數(shù)，再求出（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ的展開式中含xⁿ項的系數(shù)，即可證明結論成立．

解答 證明：∵（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ，
∴（1+x）²ⁿ的展開式中含xⁿ項的系數(shù)為${C}_{2n}^{n}$；
而（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ的展開式中含xⁿ項的系數(shù)為
C_n⁰C_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+C_n²C_n^n-2+…+C_nⁿC_n⁰=（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²，
即（C_n⁰）²+（C_n¹）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ．

點評 本題考查了組合數(shù)公式的性質與應用問題，也考查了二項展開式的應用問題，是基礎題目．