Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+3，g（x）=x²-x．
（1）解不等式|f（x）-g（x）|≥2016；
（2）若|f（x）-a|＜2成立的充分條件是1≤x≤2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件求得|x-3|≥2016，所以，x-3≥2016或 x-3≤-2016，由此求得得x的范圍．
（2）依題意知：當(dāng)1≤x≤2時，|f（x）-a|＜2恒成立，即a-2＜f（x）＜a+2恒成立．再根據(jù)當(dāng)1≤x≤2時，f（x）=（x-1）²+2的最大值為3，最小值為2，從而求得a的范圍．

解答 （1）由|f（x）-g（x）|≥2016得|-x+3|≥2016，即|x-3|≥2016，
所以x-3≥2016或 x-3≤-2016，
解得x≥2019或x≤-2013．
（2）依題意知：當(dāng)1≤x≤2時，|f（x）-a|＜2恒成立，
所以當(dāng)1≤x≤2時，-2＜f（x）-a＜2恒成立，即a-2＜f（x）＜a+2恒成立．
由于當(dāng)1≤x≤2時，f（x）=（x-1）²+2的最大值為3，最小值為2，
因此3-2＜a＜2+2，即1＜a＜4，所以實數(shù)a的取值范圍（1，4）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．