Question

【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足：正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個平面互相垂直，FB∥AE且FB＝2EA.

（1）證明：平面EFD⊥平面ABFE；

（2）求二面角E﹣FD﹣C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先證明AB⊥平面BCF，然后可得平面EFD⊥平面ABFE；

（2）建立空間直角坐標系，求解平面的法向量，然后利用向量的夾角公式可求.

（1）由題可得，因為ABCD是正方形且三角形FBC是正三角形，所以BC∥AD，BC＝AD，FB＝BC且∠FBC＝60°，

又因為EA∥FB，2EA＝FB，所以∠EAD＝60°，在三角形EAD中，根據余弦定理可得：ED⊥AE.

因為平面ABCD⊥平面FBC，AB⊥BC，平面ABCD∩平面FBC＝BC，且AB平面ABCD，所以AB⊥平面BCF，

因為BC∥AD, E A∥FB，FB∩BC＝B，且FB、BC平面FCB，EA、AD平面EAD，所以平面EAD∥平面FBC，所以AB⊥平面EAD，

又因為ED平面EAD，所以AB⊥ED，

綜上：ED⊥AE，ED⊥AB，EA∩AB＝A且EA、AB平面ABFE，所以DE⊥平面ABFE，

又DE平面DEF，所以平面EFD⊥平面ABFE.

（2）如圖，分別取BC和AD的中點O，G，連接OF，OG，

因為BO＝OC且三角形FBC為正三角形，所以FO⊥BC，

因為AG＝GD，BO＝OC，所以OG∥AB，

由（1）可得，AB⊥平面FBC，則OG⊥平面FBC，

故OF、OB、OG兩兩垂直，分別以OB、OG、OF所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設BC＝4，則，

設平面DEF的法向量為，平面DCF的法向量為，

則，

則，

所以

又二面角E﹣FD﹣C是鈍二面角，所以二面角E﹣FD﹣C的余弦值為.