Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是其準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)相切，，為切點(diǎn)，，與軸分別交于，兩點(diǎn)．

（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)；

（2）求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）3

【解析】

（1）由點(diǎn)斜式設(shè)出直線(xiàn)的直線(xiàn)方程，再由在上，得出直線(xiàn)的方程，從而證明直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)；

（2）將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，拋物線(xiàn)的性質(zhì)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得出，，再由四邊形的面積，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出四邊形面積的最小值．

（1）由題意可知

設(shè)，則即

同理.

又在上,則,所以

所以直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)F.

（2）由（1）知,代入得

則

則

到AB的距離,所以

由（1）知,則

所以,令

則四邊形的面積

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，

即函數(shù)在上是增函數(shù)

則四邊形面積的最小值為3