Question

20．已知直線a⊥直線b，b⊥直線c，c⊥a，直線l與a，b所成的角分別為45°，60°，則l與c所成的角為（　�。�

• A． 90°
• B． 60°
• C． 45°
• D． 30°

Answer 1

分析 以直線a所在直線為x軸，以直線c所在直線為y軸，以直線b所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出l與b的夾角．

解答 解：∵直線a⊥直線b，b⊥直線c，c⊥a，
∴假設(shè)a，b，c交于點(diǎn)O，且兩兩垂直，
以直線a所在直線為x軸，以直線c所在直線為y軸，
以直線b所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系，
在直線l上取一點(diǎn)H（x，y，z），
∵直線l與a，b所成的角分別為45°，60°，
∴x=cos60°$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，y=cos45°$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{3}{4}（{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}）$，
∴z${\;}^{2}=\frac{1}{4}（{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}）$，
∴z=cos60°$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，
∴l(xiāng)與b的夾角為60°．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．