Question

12．已知0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 利用兩角和差的正弦公式進行化簡求解即可．

解答 解：∵$\frac{3π}{4}$+β-（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{π}{2}$+α+β，
∴α+β=$\frac{3π}{4}$+β-（$\frac{π}{4}$-α）-$\frac{π}{2}$，
即sin（α+β）=sin[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）-$\frac{π}{2}$]=-cos[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=-cos（$\frac{3π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-sin（$\frac{3π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α），
∵0＜β＜$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，
∴-$\frac{3π}{4}$＜-α＜-$\frac{π}{4}$，
則-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}$-α＜0，則∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，
又$\frac{3π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$+β＜π，
則cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{12}{13}$，
則sin（α+β）=-cos（$\frac{3π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-sin（$\frac{3π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）=$\frac{56}{65}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡和計算，利用兩角和差的正弦公式以及拆角計算是解決本題的關(guān)鍵．