Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB，PB的中點．
（1）求證：DE∥平面PAC；
（2）求證：AB⊥PB；
（3）若PC=BC，求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由D，E分別是AB，PB的中點，結合三角形中位線定理和線面平行的判定定理可得DE∥平面PAC；
（2）由線面垂直的性質(zhì)，可得PC⊥AB，結合AB⊥BC和線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由線面垂直的性質(zhì)可得AB⊥PB；
（3）由（2）知，AB⊥PB，AB⊥BC，故∠PBC即為二面角P-AB-C的平面角，解△PBC可得答案．

解答：證明：（1）∵D，E分別是AB，PB的中點
∴DE∥PA
又∵PA?平面PAC，DE?平面PAC
∴DE∥平面PAC；
（2）∵PC⊥底面ABC，AB?底面ABC，
∴PC⊥AB
又∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC
∴AB⊥平面PBC
又∵PB?平面PBC
∴AB⊥PB；
解：（3）由（2）知，AB⊥PB，AB⊥BC，
∴∠PBC即為二面角P-AB-C的平面角
∵PC=BC，∠PCB=90°
∴∠PBC=45°
∴二面角P-AB-C的大小為45°

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，解答（1）（2）的關鍵是熟練掌握空間線面關系的判定定理及性質(zhì)，解答（3）的關鍵是求出二面角的平面角．