Question

12．已知x，y∈（0，+∞），x²+y²=2x+2y．
（1）求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值；
（2）是否存在x，y，滿足（x+1）（y+1）=10？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值即可；
（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到（x+1）（y+1）的最大值是9，從而判斷出結(jié)論即可．

解答 解：（1）x，y∈（0，+∞），x²+y²=2x+2y．
可得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$≥$\frac{2xy}{2xy}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時，等號成立．
所以$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值為1；
（2）不存在x，y，滿足（x+1）（y+1）=10．
因為x²+y²≥2xy，
所以（x+y）²≤2（x²+y²）=4（x+y），
∴（x+y）²-4（x+y）≤0，
又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤4．
從而有（x+1）（y+1）≤[$\frac{（x+1）+（y+1）}{2}$]²≤（$\frac{4+2}{2}$）²=9，
因此不存在x，y，滿足（x+1）（y+1）=10．

點評 本題考查了基本不等式的運用，注意等號成立的條件，以及滿足一正二定三等，考查運算能力，本題是一道中檔題．