Question

17．給出下列等式：$\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$，$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2cos\frac{π}{16}$，…請從中歸納出第n（n∈N^*）個(gè)等式：$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n個(gè)根號(hào)}$=$2cos\frac{π}{{{2^{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 通過已知的三個(gè)等式，找出規(guī)律，歸納出第n個(gè)等式即可

解答 解：因?yàn)椋?\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$，
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2cos\frac{π}{16}$，
…等式的右邊系數(shù)是2，角是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$角的余弦值，角滿足$\frac{π}{{2}^{n+1}}$；
從中歸納出第n（n∈N^*）個(gè)等式：$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n個(gè)根號(hào)}$=2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．
故答案為：2cos$\frac{π}{{2}^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，注意已知表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵．