Question

已知，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線相切于點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過此定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程為；（2）存在一個(gè)定點(diǎn)符合題意.

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)點(diǎn)，則，由，易得動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程；（2）把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去，因?yàn)橄嗲械葍r(jià)于，得；從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出以為直徑的圓的方程，即可得存在一個(gè)定點(diǎn)符合題意．

試題解析： （1）設(shè)點(diǎn)，則，由，得

，化簡得．

（2）由得，

由，得，從而有,，

則以為直徑的圓的方程為，

整理得，

由得，

所以存在一個(gè)定點(diǎn)符合題意.

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化思想.