Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線(xiàn),設(shè)圓的半徑為，圓心在上．

（Ⅰ）若圓心也在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或者；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題意分析可知，圓心C既在直線(xiàn)上，又在直線(xiàn)上，所以C為兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，由解得C(3，2)，所以圓C的方程為，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，顯然切線(xiàn)的斜率存在，設(shè)為k，則切線(xiàn)方程為，由于直線(xiàn)與圓C相切，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，即，，解得或，所以所求切線(xiàn)方程為或；（2）設(shè)圓心C(a,2a-4)，則圓C的方程為，設(shè)圓C上點(diǎn)M(x,y)，根據(jù)，有，整理得到點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程為，設(shè)此方程為圓D，則點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上， 所以轉(zhuǎn)化為圓C與圓D有交點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系有：，，即可求出的取值范圍。

試題解析：(1)由得圓心C為(3,2),∵圓的半徑為

∴圓的方程為:

顯然切線(xiàn)的斜率一定存在,設(shè)所求圓C的切線(xiàn)方程為,即

∴∴∴∴或者

∴所求圓C的切線(xiàn)方程為: 或者

即或者

(2)解:∵圓的圓心在在直線(xiàn)上,所以,設(shè)圓心C為(a,2a-4)

則圓的方程為:

又∵∴設(shè)M為(x,y)則整理得: 設(shè)為圓D

∴點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上 即:圓C和圓D有交點(diǎn)

∴ 由得

由得

終上所述, 的取值范圍為: