Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中點，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=2，求點C到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 令PD中點為F，連接EF，由已知條件推導出四邊形FABE為平行四邊形，由此能證明BE∥面PAD．
（Ⅱ）利用等體積方法，即可求點C到平面BDE的距離．

解答 （Ⅰ） 證明：令PD中點為F，連接EF，…（1分）
∵點E，F(xiàn)分別是△PCD的中點，
∴EF平行且等于$\frac{1}{2}$CD，∴EF平行且等于AB．
∴四邊形FABE為平行四邊形．…（2分）
∴BE∥AF，AF?平面PAD，EF?平面PAD…（4分）
∴BE∥面PAD…（5分）
（Ⅱ）解：由題意，平面PAD⊥平面ABCD，∠DAB=90°，∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PA，
∵PA⊥BC，AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABCD，∴PD=2$\sqrt{2}$，BE=AF=$\sqrt{2}$，DB=$\sqrt{5}$，
△PCD中，PD=2$\sqrt{2}$，CD=2，PC=2$\sqrt{5-2}$=2$\sqrt{3}$，
∴4DE²+12=2（8+4），∴DE=$\sqrt{3}$，∴DE⊥BE，∴S_△BDE=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
設點C到平面BDE的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$，∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．…（10分）

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查點C到平面BDE的距離的求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．