Question

20．為了對某校高二年級學生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行估計，隨機抽取1個容量為M的樣本，根據(jù)樣本作出了頻率分布表如下：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	25	n
[20，25）	m	p
[25，30]	2	0.05
合計	M	1

（1）求出表中m、n的值；
（2）若該校高二學生有240人，試估計該校高二學生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的人數(shù)；
（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30]內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由分組[10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25，頻數(shù)之和為40，能求出表中m、n的值．
（2）由p=1-0.25-0.625-0.05=0.075，能估計該校高三學生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)．
（3）設(shè)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的兩人為{a₁，a₂，a₃}，在區(qū)間[25，30）內(nèi)的3人為{b₁，b₂}．利用列舉法能求出至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．

解答 解：（1）由分組[10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，$\frac{10}{M}=0.25$，
所以M=40…（2分）
因為頻數(shù)之和為40，
所以10+25+m+2=40，
解得m=3.$n=\frac{25}{40}=0.625$．．（4分）
（2）由（1）得p=1-0.25-0.625-0.05=0.075
因為該校高二學生有240人，分組[20，25）內(nèi)的頻率是0.075，…（6分）
所以估計該校高三學生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為18人…（8分）
（3）記“至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)”為事件P，…（9分）
這個樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學生共有3+2=5人，
設(shè)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的兩人為{a₁，a₂，a₃}，在區(qū)間[25，30）內(nèi)的3人為{b₁，b₂}．
則任選2人共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），
（a₂，a₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）10種情況，…（11分）
而兩人都在[20，25）內(nèi)共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃}，3種，…（12分）
至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率：
p=1-$\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$．…（13分）
答：至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率為$\frac{7}{10}$．…（14分）

點評 在解決頻率分布直方圖的問題時，要注意直方圖中的縱坐標，直方圖中求頻率等于縱坐標乘以組距；求事件的概率時，一個先判斷事件是什么概型，再選擇合適的概率公式