Question

如圖，矩形ABCD的長AB=a，寬AD=b，外接矩形EFGH的面積為S，設(shè)∠CBF=θ．
（1）用θ表示S；
（2）求S的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)∠CBF=θ，0°＜θ＜90°，則由三角形知識可知BF=bcosθ，BE=asinθ，AH=bsinθ，AE=acosθ，利用S_矩形EFGH=EF•EH=（BE+BF）•（AE+AH），可用θ表示S；
（2）利用基本不等式求S的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)∠CBF=θ，0°＜θ＜90°，則由三角形知識可知BF=bcosθ，BE=asinθ，AH=bsinθ，AE=acosθ．
則S_矩形EFGH=EF•EH=（BE+BF）•（AE+AH）
=（asinθ+bcosθ）（acosθ+bsinθ）=a²sinθcosθ+b²sinθcosθ+absin²θ+abcos²θ
=

1

2

（a²+b²）sin2θ+ab
（2）S═

1

2

（a²+b²）sin2θ+ab≤ab+

1

2

（a²+b²）=

1

2

（a+b）²．
當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1，即θ=

π

4

時取得最大值．即矩形EFGH面積的最大值為

1

2

（a+b）²．

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查三角函數(shù)知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵．