Question

已知

m

=（-sinαcosβ，2cosα），

n

=（2cos（-π），sin（π-β）），其中0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，且

m

•

n

=

6

5

，|

n

|=

105

5

，求tan（α+2β）．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：通過向量的數(shù)量積以及向量的模，列出關(guān)系式，然后通過兩角和的正切函數(shù)求解即可．

解答： 解：

m

=（-sinαcosβ，2cosα），

n

=（2cos（-π），sin（π-β）），

m

•

n

=

6

5

．
∴-sinαcosβ•2cos（-π）+2cosαsin（π-β）=2sinαcosβ+2cosαsinβ=2sin（α+β）=

6

5

∴sin（α+β）=

3

5

，0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，α+β∈(

π

2

，π)．
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

，tan（α+β）=-

3

4

．
|

n

|=

105

5

，

(2cos(-π))2+(sin(π-β))2

=

105

5

，可得sin²β=

1

5

，

π

2

＜β＜π，sinβ=

5

5

．cosβ=-

2 5

5

，
tanβ=-

1

2

．
tan（α+2β）=

tanβ+tan(α+β)

1-tanβtan(α+β)

=

- 1 2 - 3 4

1- 1 2 × 3 4

=-2．

點評：本題考查兩角和的正切函數(shù)，誘導(dǎo)公式應(yīng)用向量的數(shù)量積以及向量的模的求法，考查計算能力．