Question

已知a_n=log_n+1^（n+2）（n∈N^*）我們把使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數(shù)的數(shù)n叫做“成功數(shù)”，則在區(qū)間（1，2012）內(nèi)的所有成功數(shù)的和為（ ）
A．1024
B．2003
C．2026
D．2048

Answer 1

【答案】分析：由題意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=，若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k（k∈Z），則在（1，2012）內(nèi)的所有整數(shù)可求，進而利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果．
解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2），
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=
若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k（k∈Z），
則在（1，2012）內(nèi)的所有整數(shù)分別為：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
∴所求的“成功數(shù)”的和為：
2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2
=（2²+2³+2³+…+2¹⁰）-2×9
==2026．
故選C．
點評：本題以新定義“成功數(shù)”為切入點，主要考查了對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)的應用，屬于中檔試題．