Question

（2013•浙江二模）已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2）．
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)1＜t＜4時(shí)，求滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，要使函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)符號(hào)不變化．
（Ⅱ）將方程零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題．然后利用函數(shù)與方程去求解．

解答：（1）解：因?yàn)閒'（x）=（x²-3x+3）e^x+（2x-3）e^x=x（x-1）e^x   由f'（x）＞0得x＞1或x＜0；由f'（x）＜0得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，欲f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0．-----（7分）
（3）因?yàn)?span id="yg0adwp" class="MathJye">

f′(x0)

ex0

=x02-x0，所以由

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，即為x02-x0=

2

3

(t-1)2，
令g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程g(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在[-2，t]上的解的個(gè)數(shù)，--------（10分）
因?yàn)?span id="cnrfia6" class="MathJye">g(-2)=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t+2)(t-4)，g(t)=t(t-1)-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g(0)=-

2

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在[-2，t]上有兩解．
即，滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的個(gè)數(shù)為2．--------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)．