Question

某校高三數(shù)學(xué)理科組有10名教師，其中4名女老師；文科組有5位老師，其中3位女老師．現(xiàn)在采取分層抽樣的方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣）從文、理兩科中抽取3名教師進(jìn)行“標(biāo)、綱、題”測試．
（1）求從文、理兩科各抽取的人數(shù)．
（2）求從理科組抽取的教師中恰有1名女教師的概率．
（3）記ξ表示抽取的3名教師中男教師人數(shù)，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分層抽樣的定義和方法，可得抽樣比為2：1，可得從理科組、文科組分別抽取的教師數(shù)．
（2）記A為事件：從理科組抽取的教師中恰有1名女教師，則P(A)=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

，運算求得結(jié)果．
（3）ξ的可能取值有0，1，2，3，分別求得求得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=2）、P（ξ=3）的值，即可得到ξ的概率分布列．
再根據(jù)ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望的定義，求得ξ的期望．

解答：解：（1）由于理科有10名教師，文科組有5名教師，抽樣比為2：1，所以從理科組抽取2名教師，文科組抽取1名教師．…（2分）
（2）記A為事件：從理科組抽取的教師中恰有1名女教師，則P(A)=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

=

8

15

…（6分）
（3）ξ的可能取值有0，1，2，3，求得P(ξ=0)=

C 2 4 C 1 3

C 2 10 C 1 5

=

2

25

，P(ξ=1)=

C 2 4 C 1 2

C 2 10 C 1 5

+

C 1 6 C 1 4 C 1 3

C 2 10 C 1 5

=

28

75

，
P(ξ=3)=

C 2 6 C 1 2

C 2 10 C 1 5

=

2

15

，P(ξ=2)=1-

2

25

-

8

75

-

2

15

=

31

75

，可得ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	2 25	28 75	31 75	2 15

…（11分）
∴E(ξ)=…=

8

5

…（13分）

點評：本題主要考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用，分層抽樣的定義和方法，離散型隨機(jī)變量及其分布列，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．