Question

如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點，AE=3，圓O的直徑為9．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角D-BC-E的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證平面ABCD⊥平面ADE，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ABCD內(nèi)一直線與平面ADE垂直，易證CD⊥平面ADE，從而得到結(jié)論；
（2）過點E作EF⊥AD于點F，作FG∥AB交BC于點G，連接GE，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠FGE是二面角D-BC-E的平面角，在Rt△EFG中，求出此角的正切值即可．

解答：（1）證明：∵AE垂直于圓O所在平面，CD在圓O所在平面上，
∴AE⊥CD．
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADE．

（2）∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，
∴CD⊥DE．
∴CE為圓O的直徑，即CE=9．
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
由81-a²=a²-9，解得，a=3

5

．
∴DE=

AD2-AE2

=6．
過點E作EF⊥AD于點F，作FG∥AB交BC于點G，連接GE，
由于AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB．
∵AD∩AB=A，
∴EF⊥平面ABCD．
∵BC?平面ABCD，
∴BC⊥EF．
∵BC⊥FG，EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG．
∵EG?平面EFG，
∴BC⊥EG．
∴∠FGE是二面角D-BC-E的平面角．
在Rt△ADE中，AD=3

5

，AE=3，DE=6，
∵AD•EF=AE•DE，
∴EF=

AE•DE

AD

=

3×6

3 5

=

6 5

5

．
在Rt△EFG中，FG=AB=3

5

，
∴tan∠EGF=

EF

FG

=

2

5

．
故二面角D-BC-E的平面角的正切值為

2

5

．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量及坐標(biāo)運算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．