Question

設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（0）=1，且對任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=3f（a_n）-1（n∈N⁺），且a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅲ）求證：≤（1+）^f（n-1）＜2，（n∈N⁺）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）運用賦值的方法，令x=y=0，求出f（1）=2，再令y=0可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）運用待定系數(shù)法，找出a_n+1+1與a_n+1的位數(shù)關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，求出數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅲ）運用二項式定理，結(jié)合不等式的知識與放縮法，從而證出不等式恒成立．
解答：解：（Ⅰ）因f（0）=1．
若令x=y=0，得f（1）=f（0）f（0）-f（0）-0+2=2
再令y=0得f（1）=f（x）f（0）-f（0）-x+2，可得f（x）=x+1，x∈R
（Ⅱ）∵f（x）=x+1，∴a_n+1=3f（a_n）-1=3（a_n+1）-1=3a^_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），又a₁+1=2，∴數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•3^n-1，即a_n=2•3^n-1-1
（Ⅲ）∵f（x）=x+1，x∈R，∴T=，n∈N^*
≥1+n•
另一方面：因為，
所以
=．
綜上可得命題成立．
點評：數(shù)列與不等式相綜合是考試的熱點，也是難點．第一小問賦值的同進(jìn)應(yīng)該注意一個“巧”字，不要出現(xiàn)重復(fù)累贅，不得其法；第二小問除待定系數(shù)的方法外還可利用利用作差構(gòu)造新數(shù)列的方法，同學(xué)們不妨作個嘗試；第三小問證明不等式恒成立，在結(jié)合二項式定理的同時還要注意式子的適當(dāng)放縮，從而達(dá)到證明的目的．