Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠C₁為直角
（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是AB的中點，求證：AC₁∥平面CDB₁
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，當四邊形A₁ACC₁滿足什么條件時，能滿足A₁B⊥AC₁，并加以證明．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接BC₁交B₁C于E，證明AC₁∥平面CDB₁，只需證明AC₁∥DE，利用三角形中位線可得；
（2）當四邊形A₁ACC₁滿足AC₁⊥A₁C時，能滿足A₁B⊥AC₁，證明AC₁⊥平面A₁BC，即可得出結論．

解答： （1）證明：連接BC₁交B₁C于E，∴E為BC₁的中點，
連接DE，由D為AB的中點，∴DE為△ABC₁的中位線，
∴AC₁∥DE，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（2）解：當四邊形A₁ACC₁滿足AC₁⊥A₁C時，能滿足A₁B⊥AC₁，
證明如下：∵BC⊥AC，BC⊥A₁A，AC∩A₁A=A，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥A₁C，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵A₁B?平面A₁BC，
∴A₁B⊥AC₁．

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，正確利用線面平行、垂直的判定定理是關鍵．