Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³-x及其圖象曲線C
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及在（1，f（1））處的切線與曲線C的另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
（2）證明：若對于任意非零實(shí)數(shù)x₁，曲線C與其點(diǎn)P₁（x₁，f（x₁））處的切線交于另一點(diǎn)P₂（x₂，f（x₂）），曲線C與其在點(diǎn)P₂（x₂，f（x₂））處的切線交于另一點(diǎn)P₃（x₃，f（x₃）），線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S₁、S₂，則$\frac{S_1}{S_2}$為定值．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0解得的區(qū)間為增區(qū)間和fˊ（x）＜0解得的區(qū)間為減區(qū)間，曲線C在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2（x-1），即可得出在（1，f（1））處的切線與曲線C的另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的橫坐標(biāo)的關(guān)系，再求定積分求出圍成封閉圖形的面積S₁，利用同樣的方法求出面積S₂即可．

解答 （1）解：由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1，
由f′（x）＞0，得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
由f′（x）＜0，得單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
曲線C在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=2（x-1），得x³-x=2x-2，x=-2或x=1（舍去）
故另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，…6
（ⅱ）曲線C與其在點(diǎn)P₁處的切線方程為$y=（3x_1^2-a）（x-{x_1}）+x_1^3-a{x_1}$，即$y=（3x_1^2-a）x-2x_1^3$
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=（3x_1^2-a）x-2x_1^3}\\{y=x_1^3-a{x_1}}\end{array}}\right.$
得${x^3}-ax=（3x_1^2-a）x-2x_1^3$
解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，進(jìn)而有
S₁=|${∫}_{{x}_{1}}^{-2{x}_{1}}$（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=$\frac{27}{4}{{x}_{1}}^{4}$，用x₂代替x₁，重復(fù)上述計(jì)算過程，可得
x₃=-2x₂和S₂=$\frac{27}{4}{{x}_{2}}^{4}$，又x₂=-2x₁≠0，所以S₂≠0，
因此有$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{1}{16}$為定值．

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想．