Question

19．函數f（x）的定義域是（0，+∞），滿足對于任意x，y＞0，有 f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），且當x＞1時，有f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）判斷并證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性；
（4）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{3}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（1）的值；
（2）根據函數單調性的定義即可判斷f（x）的單調性并證明；
（3）結合函數單調性將不等式進行轉化即可得到結論．

解答 解：（1）令x=y＞0，則f（1）=f（x）-f（x）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（\frac{x_2}{x_1}）$，
因為x₂＞x₁＞0，所以$\frac{x_2}{x_1}$＞1⇒$f（\frac{x_2}{x_1}）$＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（3）因為f（6）=1，所以f（36）-f（6）=f（6），
所以f（36）=2f（6）=2．
由$f（x+3）-f（\frac{1}{3}）＜2$，得f（3x+9）＜f（36），
所以$\left\{\begin{array}{l}x+3＞0\\ 3x+9＜36\end{array}\right.$⇒-3＜x＜9
所以原不等式的解為（-3，9）．

點評 本題主要考查抽象函數的應用，根據條件結合函數單調性的性質進行轉化以及利用賦值法是解決抽象函數的關鍵．