Question

已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率

6

3

且過點（

5

，0），過定點C（-1，0）的動直線與該橢圓相交于A、B兩點．
（1）若線段AB中點的橫坐標(biāo)是-

1

2

，求直線AB的方程；
（2）設(shè)x軸上是否存在點M，使

MA

•

MB

為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)離心率公式，及a，b，c的關(guān)系，求得a，b，得到橢圓方程．設(shè)出直線AB的方程，將直線方程代入橢圓，用設(shè)而不求和韋達定理方法表示出中點坐標(biāo)，此時代入已知AB中點的橫坐標(biāo)，即可求出直線AB的方程；
（2）假設(shè)存在點M，使

MA

•

MB

為常數(shù)．分別分當(dāng)直線AB與x軸不垂直時以及當(dāng)直線AB與x軸垂直時求出點M的坐標(biāo)．最后綜合兩種情況得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則

c

a

=

6

3

，a=

5

，即有c=

30

3

，b=

a2-c2

=

15

3

，
即有橢圓方程為：x²+3y²=5，
設(shè)直線AB：y=k（x+1），代入橢圓方程，得
（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則判別式△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-5）＞0，
x₁+x₂=-

6k2

1+3k2

，
由于線段AB中點的橫坐標(biāo)是-

1

2

，則x₁+x₂=-1，
則6k²=1+3k²，解得，k=±

3

3

，
檢驗，△=4-4×（1+1）×（1-6）＞0，
則直線AB的方程為y=±

3

3

（x+1）；
（2）假設(shè)x軸上存在點M（m，0），使

MA

•

MB

為常數(shù)．
①假設(shè)k存在，則

MA

=（x₁-m，y₁），

MB

=（x₂-m，y₂），
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1），

MA

•

MB

=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=（1+k²）（x₁x₂）+（k²-m）（x₁+x₂）+m²+k²
=（1+k²）

3k2-5

1+3k2

+（k²-m）•

6k2

1+3k2

+m²+k²
=m²+

(6m-1)k2-5

1+3k2

=m²+2m-

1

3

-

6m+14

3(1+3k2)

，
當(dāng)6m+14=0，即m=-

7

3

時，

MA

•

MB

為常數(shù)

4

9

．
②當(dāng)直線AB與x軸垂直時，
此時點A，B的坐標(biāo)分別為（-1，

2

3

），（-1，-

2

3

），
當(dāng)m=-

7

3

時，亦有

MA

•

MB

=

4

9

．
綜上，在x軸上存在定點M（-

7

3

，0），使

MA

•

MB

為常數(shù)．

點評：本題考查直線的一般方程以及直線與圓錐曲線的關(guān)系求法．通過運用設(shè)而不求韋達定理方法，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示．考查對知識的綜合運用，屬于中檔題．