Question

已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線；設為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點.

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)，若不能，請說明理由；

（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.

 

Answer 1

（1）圓心的軌跡：；

（2）和的比值為一個常數(shù)，這個常數(shù)為；

（3）當時，取最大值.

【解析】

試題解析：（1）設圓心的坐標為，半徑為

由于動圓與圓相切，且與圓相內切，所以動

圓與圓只能內切

2分

圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，

故圓心的軌跡： 4分

（2）設，直線，則直線

由可得：，

6分

由可得：

8分

和的比值為一個常數(shù)，這個常數(shù)為 9分

（3），的面積的面積，

到直線的距離

11分

令，則

（當且僅當，即，亦即時取等號）

當時，取最大值 13分

考點：圓與圓的位置關系，橢圓的定義、幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，基本不等式的應用.