Question

已知雙曲線的焦點在x軸上，且過點A（1，0）和B（-1，0），P是雙曲線上異于A、B的任一點，如果△APB的垂心H總在雙曲線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：首先由題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由A、B兩點的坐標(biāo)可得a=1，然后根據(jù)△APB的垂心H總在雙曲線上，則由雙曲線的對稱性可得點P、H關(guān)于x軸對稱，那么直線PB與直線HA必然互相垂直，因此設(shè)出點P的坐標(biāo)（m，n），進而列出方程組，最后消去參數(shù)m、n可解得b，則雙曲線方程解決．
解答：解：依題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為a=1，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
又△APB的垂心H總在雙曲線上，所以點P、H關(guān)于x軸對稱，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），則點H的坐標(biāo)為（m，-n），
所以，解得b=1，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=1．
點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，同時考查三角形垂心的概念、直線垂直的性質(zhì)及解方程組的能力．