Question

12．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O為AC的中點，點P為平面ABCD外一點，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AO⊥PO，由此能證明PO⊥平面ABCD．
（2）以O為原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

解答 證明：（1）在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AO=$\sqrt{3}$，
又∵PO=1，PA=2，∴PO²+AO²=PA²，
∴AO⊥PO，
∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
PO?平面PAC，
∴PO⊥平面ABCD．
解：（2）以O為原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
設直線PA與平面PBC所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•2}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查利用二面角的正弦值的求法；考查邏輯推理與空間想象能力，運算求解能力；考查數(shù)形結合、化歸轉化思想．