Question

如圖所示莖葉圖記錄了甲，乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分為100分）．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示．
（Ⅰ）若甲，乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，求a的值．
（Ⅱ）求乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率．
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，分別從甲，乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值為2分的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,莖葉圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）直接由甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相等列式求解a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的結(jié)果可得，當(dāng)a=2，…，9時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，然后由古典概率模型概率計(jì)算公式求概率；
（Ⅲ）用枚舉法列出所有可能的成績(jī)結(jié)果，查出兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分的情況數(shù)，然后由古典概率模型概率計(jì)算公式求概率

解答： 解：（1）由甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相等，得

1

3

（88+92+92）=

1

3

[90+91+（90-a）]，解得a=1；
（2）設(shè)“乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)”為事件A，
a的取值有：0，1，2，…，9共有10種可能．
由（Ⅰ）可知，當(dāng)a=1時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同，
所以當(dāng)a=2，…，9時(shí)，乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)，共有8種可能．
所以乙組平均成績(jī)超過(guò)甲組平均成績(jī)的概率P（A）=

8

10

=

4

5

，
（3）當(dāng)a=2時(shí)，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績(jī)結(jié)果有3×3=9種，它們是（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴事件B的結(jié)果有3種，它們是：（88，90），（92，90），（92，90），
所以這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值為的概率P=

3

9

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了莖葉圖，考查了等可能事件的概率及古典概型概率計(jì)算公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．