已知函數(shù)f(x)=
2
x
-xm，且f(4)=-
7
2
．
（1）求m的值；     
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，-1]上的最值．
（1）由f(4)=-
7
2
得：
2
4
-4m=-
7
2
，
即：4m=4，解得：m=1；…（2分）
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．…（3分）
證明：設(shè)0＜x1＜x2，
則f(x2)-f(x1)=(
2
x2
-x2)-(
2
x1
-x1)=(
2
x2
-
2
x1
)+(x1-x2)=(x1-x2)(1+
2
x2x1
)；…（5分）
∵0＜x1＜x2
∴(x1-x2)(1+
2
x2x1
)＜0，
即f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．…（7分）
（3）由（1）知：函數(shù)f(x)=
2
x
-x，其定義域?yàn)閧x|x≠0}．…（8分）
∴f(-x)=
2
-x
-(-x)=-(
2
x
-x)=-f(x)，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（9分）
由（2）知：f（x）在[1，5]上為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，-1]上為減函數(shù)．…（10分）
∴當(dāng)x=-5時(shí)，f（x）取得最大值，最大值為f(-5)=-
2
5
+5=
23
5
；
當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（-1）=-2+1=-1．…（12分）
（其他解法請參照給分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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